Costruzione di un catadiottro

Un catadiottro è un dispositivo ottico composto da due specchi piani ortogonali. Per visualizzare la sua proprietà con Geogebra costruiamo innanzitutto due segmenti della stessa lunghezza e tra loro perpendicolari. Questi rappresenteranno il catadiottro. Tracciamo poi una semiretta incidente sul primo specchio con un angolo arbitrario, questo sarà il raggio di luce incidente sul catadiottro.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per il punto di intersezione tra il raggio incidente e lo specchio, tracciamo la normale allo specchio utilizzando il comando Retta perpendicolare e selezionando il punto di incidenza e il segmento che rappresenta lo specchio. A questo punto, affinché le leggi di riflessione siano rispettate, tracciamo una semiretta simmetrica a quella incidente con il comando Simmetria assiale, selezionando il raggio incidente e la normale appena tracciata. Questa retta rappresenterà il raggio riflesso. Possiamo evidenziare gli angoli e visualizzare la loro ampiezza in modo da controllare che siano veramente congruenti. Evidenziamo con un colore diverso la parte del raggio riflesso che è contenuta all’interno del semipiano contenuto tra i due specchi. Il raggio riflesso andrà ad incidere sul secondo specchio, e nel punto di incidenza si avrà una seconda riflessione. Ripetiamo quindi i passi precedenti per tracciare la seconda normale e il raggio riflesso, simmetrico a quello incidente.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Evidenziamo anche in questo caso l’angolo di incidenza e di riflessione e le loro ampiezze. Si può osservare che ciascuno è complementare rispetto all’angolo di incidenza (o di riflessione) con il primo specchio.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quindi si conclude che il raggio incidente sul primo specchio e quello riflesso dal secondo sono paralleli, infatti considerando una loro secante, come ad esempio il raggio riflesso dal primo specchio e incidente sul secondo, è facile vedere che gli angoli coniugati interni sono supplementari.

 

 

Costruzione del faro di una macchina

Ci limiteremo a costruire una sezione di un paraboloide e visualizzeremo la proprietà dei raggi di luce, emessi da una lampadina posta nel fuoco della parabola, di riflettersi parallelamente all’asse della curva.

 

Fissiamo innanzitutto una retta verticale d per la direttrice della parabola e un punto F per il fuoco.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Con il comando Parabola si costruisce la parabola selezionando il punto F come fuoco e la retta d come direttrice.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mettiamo un punto P sulla parabola e costruiamo il segmento tra P ed F. Questo segmento rappresenta un raggio emesso dalla sorgente posta in F.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dalla legge fisica sulla riflessione sappiamo che l’angolo formato tra il raggio incidente e la normale alla superficie riflettente è congruente all’angolo che il raggio riflesso forma con la stessa normale. Costruiamo quindi la normale alla superficie riflettente, che in questo caso sarà la normale alla retta tangente, per il punto P che stiamo considerando. Per farlo si usa il comando Tangenti e si seleziona il punto P e la parabola. Con il comando Retta perpendicolare si seleziona il punto P e la tangente t, così si costruisce la normale che ci interessa.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ora tracciamo il raggio riflesso in maniera che l’angolo di riflessione rispetti le leggi dell’ottica come già detto. Per farlo si usa il comando Simmetria assiale, si seleziona il segmento PF e l’asse di simmetria, cioè la normale alla retta t. In questo modo comparirà il segmento PF’ che, per le proprietà della simmetria, formerà un angolo congruente a quello formato dal segmento PF con la normale.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per visualizzare meglio la proprietà, sostituiamo il segmento PF’ con una semiretta passante per lo stesso segmento e attiviamo la traccia dei due raggi che abbiamo costruito.

Muovendo il punto P lungo la parabola, vedremo come tutta la luce emessa dalla sorgente immaginaria posta nel punto F viene riflessa in direzione perpendicolare alla direttrice.